Сборник олимпиадных заданий по математике

5-6 классы

1. В одном классе учатся Иван, Петр и Сидор. Их фамилии: Иванов, Петров и Сидоров. Установите фамилию каждого из ребят, если известно, что Иван – не Иванов, Петр – не Петров, Сидор – не Сидоров, а Сидор живет в одном доме с Ивановым.

2. Ослику приходится делить корм – сено и овес – с лошадью и коровой. Определите, кто всегда ест из одной и той же кормушки, если известно, что:

- когда ослик ест овес, то лошадь ест то же, что и корова;

- когда лошадь ест овес, то ослик ест то, что не ест корова;

- когда корова ест сено, то ослик ест то же, что и ослик.

3. В семье четверо детей Аня, Боря, Вера и Галя, их возраст - 5, 8, 13 и 15 лет. Установите, сколько лет каждому ребенку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори, а сумма лет Ани и Веры кратна 3.

4. Витя поймал рыбу. Когда у него спросили, сколько весит пойманная рыба, он ответил: «Я думаю, что ее хвост имеет массу 1 кг. Голова весит столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище – сколько голова и хвост вместе». Определите массу пойманной Витей рыбы.

5. Из металлической заготовки вытачивают деталь. Стружку, которая получается при вытачивании 8 деталей, можно переплавить в одну заготовку. Сколько деталей модно сделать из 1000 заготовок?

6. Сколько раз к наибольшему однозначному числу надо прибавить наибольшее двузначное число, чтобы получить наибольшее трехзначное число?

7. Рост Буратино равен 1 м 4 дм, а длина его носа сначала была равна 9 см, но каждый раз, когда Буратино обманывал, длина его носа удваивалась. Как только длина носа стала больше длины роста, Буратино перестал обманывать. Сколько раз солгал Буратино?

8. Лена в 6 раз младше своего прадеда. Если между цифрами ее возраста записать 0, получится возраст ее прадеда. Сколько лет Лене?

9. Цифра в разряде десятков некоторого двузначного числа в четыре раза меньше цифры в разряде единиц, а сумма цифр числа равна некоторому двузначному числу. Найдите это число.

10. Вычислите: 101101 × 999 – 101 × 999999.

11. Зачеркните в записи примера

111 + 333 + 777 + 999

пять цифр так, чтобы сумма чисел, полученных из оставшихся цифр, равнялась 1111.

12. Из числа 123456789101112131415…5657585960 вычеркните 100 цифр так, чтобы оставшееся число стало наибольшим из всех, которые могут быть получены таким способом. Запишите это число.

13. Учитель вызвал Петю, Колю, Васю, Борю и Мишу (в указанном порядке) и задал каждому по одному примеру из таблицы умножения. Все ученики дали правильные ответы. Какие числа перемножал Боря, если оказалось, что ответ каждого следующего мальчика в полтора раза больше, чем у предыдущего?

14. Из 100 туристов 10 человек не знали ни немецкого, ни французского языков, немецкий язык знали 75 человек, а 83 человека знали французский. Сколько туристов знали два языка – немецкий и французский?

15. Коля задумал трехзначное число, один из разрядов которого совпадает с любым из трех чисел 543, 142 и 562. Определите, какое число задумал Коля.

16. Составьте разность, если известно, что сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 36.

17. Однажды, когда Света ехала в поезде, она стала шифровать слова, заменяя буквы их порядковыми номерами в алфавите. Когда она зашифровала пункты отправления и прибытия поезда, девочка обнаружила, что они записываются с помощью двух цифр:

211221 – 21221.

Определите, откуда и куда идет поезд.

18. Докажите, что среди любых трех целых чисел всегда можно найти два, сумма которых является четным числом.

19. Как от куска материи длиной м отрезать полметра, не имея в руках измерительных инструментов?

20. Фотографию 30 см ´ 40 см увеличили для рекламного щита. Каковы размеры этого щита, если его площадь равна 48 м².

21. Разместите на трех грузовиках 7 полных бочек, 7 бочек, наполненных наполовину, и 7 пустых бочек так, чтобы на всех грузовиках был одинаковый по массе груз.

22. Имеется три сосуда вместимостью 6 л, 3 л и 7 л соответственно. В первый сосуд налили 4 л, а в третий – 6 л молока. Как, используя имеющиеся емкости, разлить молоко поровну в два сосуда?

23. Из 9 монет одна фальшивая, она легче всех остальных. Масса настоящих монет одинакова. Как за два взвешивания, определить, какая монета фальшивая?

24. Как переложить три спички так, чтобы получилось пять квадратов?

25. От квадрата со стороной 4 см отрезали четвертую часть (см. рис.).

Разделите оставшуюся фигуру на четыре равные по площади и по форме части.

26. Женя провел три прямые и отметил на них 6 точек. Оказалось, что он отметил по три точки на каждой прямой. Изобразите, как Женя выполнил задание.

27. Как двумя разрезами разрезать треугольник на 2 треугольника, четырехугольник и пятиугольник?

7 класс

1. Расшифруйте разность КРЫСЫ – СЫРЫ =СЫТЫ. Одним и тем же буквам соответствуют одинаковые цифры, разным – разные.

2. Решите ребус АВВА+А+В = CDDA. Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными – разные.

3. Решите ребус РЕШИ + ЕСЛИ = СИЛЕН. Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными – разные, наибольшая цифра в записи числа “СИЛЕН” равна 5.

4. Найдите максимальное значение суммы У Р А + У Р Н А, где У, Р, А,  Н - различные цифры.

5. Если к некоторому трехзначному числу приписать слева 5, то получится точный квадрат. Если к этому же числу приписать справа 1, то также получится полный квадрат. Найдите это число.

6. Расставьте скобки в выражении 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 = 0 так, чтобы получилось верное равенство.

7. В записи 8 8 8 8 8 8 8 8 расставьте между цифрами знаки сложения так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 1000.

8. Запишите в строку пять чисел так, чтобы сумма любых двух чисел была отрицательна, а сумма всех чисел – положительна.

9. Возраст старика Хоттабыча записывается числом, в котором все цифры различны. Сколько лет старику Хоттабычу, если о числе его лет известно следующее:

- если зачеркнуть первую и последнюю цифры, то получится двузначное число, которое при сумме цифр, равной 13, является наибольшим;

- первая цифра больше последней в 4 раза.

10. Сумма цифр двузначного числа равна 11. После того, как цифры в записи числа поменяли местами, получилось число на 45 больше исходного. Найдите первоначальное число.

11. Сумма цифр двузначного числа равна 8. Если цифры в записи числа поменять местами, получится число на 36 меньше исходного. Найдите первоначальное число.

12. Вася записал на доске два числа. Петя записал рядом их сумму. Ваня сложил все три записанные числа, получил четвертое и записал его. Чему равна сумма всех четырех записанных чисел, если последним Петя записал число 5?

13. «Бабушка, сколько лет твоему внуку?» - «Моему внуку столько месяцев, сколько мне лет, а вместе нам 65 лет». Сколько лет внуку?

14. В классе 30 учеников. На экскурсию в музей ходили 24 человека, в кино и музей 6 человек, и 2 человека не ходили ни в кино, ни в музей. Сколько человек из класса ходили в кино?

15. Бабушка купила внукам конфеты. Первому внуку она дала половину и еще полконфеты. Второму половину остатка и еще полконфеты. А третьему последние 7 конфет. Сколько конфет купила бабушка?

16. Сколько существует трехзначных чисел, из которых можно получить число, кратное 13, с помощью приписывания одной цифры справа?

17. Найдите наименьшее число, которое

при делении на 2 дает остаток 1,

при делении на 3 дает остаток 2,

при делении на 4 дает остаток 3,

при делении на 5 дает остаток 4,

при делении на 6 дает остаток 5,

при делении на 7 дает остаток 6,

при делении на 8 дает остаток 7,

при делении на 9 дает остаток 8.

18. В двух седьмых классах 70 учеников. учеников одного класса и учеников другого посещают различные кружки и факультативы. Сколько учеников в каждом классе?

19. Миша задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно мажет оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух цифр?

20. Килограмм свинины с костями стоит 7800 руб., 1 кг свинины без костей стоит 9000 руб., а 1 кг костей стоит 1500 рублей. Сколько граммов костей в 1 кг свинины?

21. В задней части парка стояло несколько столбов. На каждом столбе сидела ворона. Но одной вороне столба не хватило, и она летала рядом. Через некоторое время все вороны уселись на столбах по две, и тогда один столб оказался не занят. Сколько столбов находилось в задней части парка.

22. Вася захотел написать Пете письмо, но забыл номер дома, в котором живет Петя. Однако Вася вспомнил, что номер Петиного дома – это трехзначное число XYZ, которое делится на 0, но не делится на 10. Кроме того, он вспомнил, что первые две цифры номера образуют двузначное число XY, которое является квадратом некоторого натурального числа, а две последние цифры образуют двузначное число YZ, которое меньше 20. Помогите Васе восстановить номер Петиного дома.

23. На прямолинейном участке шоссе расположены четыре остановки A, B, C, D. Известно, что расстояние между остановками А и D равно 1 км, между В и С – 2 км, между В и D – 3 км, между А и В – 4 км, между С и D – 5 км. Определите расстояние между остановками А и С.

24. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на какие-либо 10 последовательных натуральных чисел.

25. Найдите наименьшее и наибольшее значения дроби , если Т, Я, Д - цифры.

26. В клетках таблицы находятся 8 восемь звездочек. Какое наименьшее число звездочек нужно переставить в другие клетки, так, чтобы в каждом столбце и в каждой строчке оказалось ровно по 2 звездочки? Выполните рисунок.

*	*
*		*	*
		*	*
		*

27. Можно ли в клетках квадратной таблицы 4х4 разместить натуральные числа от 1 до 16 (каждое из них должно встретиться по одному разу) так, чтобы сумма всех чисел в каждом столбце была четной, в каждой строке – нечетной?

Приведите пример такого размещения.

28. Туристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки в «Страну дураков» - две взрослых и одну детскую – за 3543 золотые монеты. Известно, что детская путевка дешевле взрослой на 500 золотых монет. Каким образом Карабас сумел понять, что его обманывают?

29. Лиса и два медвежонка делят 100 конфет. Лиса раскладывает конфеты на три кучки; кому какая достанется – определяет жребий. Лиса знает, что если медвежатам достанется разное количество конфет, то они попросят ее уравнять их кучки, и тогда она заберет излишек себе. После этого все едят доставшиеся им конфеты.

а) Придумайте, как лисе разложить конфеты по кучкам, чтобы съесть ровно 80 конфет (ни больше, ни меньше).

б) Может ли Лиса сделать так, чтобы в итоге съесть ровно 65 конфет?

30. По дороге едут автомобили: на запад - «Москвич» и «Жигули» с равными между собой скоростями, а на восток - «Мерседес» и БМВ с равными между собой скоростями. «Москвич» встретился с БМВ в 12⁰⁰, «Жигули» с БМВ - в 15⁰⁰, «Москвич» и «Мерседес» - в 14⁰⁰. Когда встретились «Жигули» и «Мерседес»?

31. Какой вес должна иметь каждая из трех гирь для того, чтобы с их помощью можно было бы взвесить любое целое число килограммов от 1 кг до 10 кг на чашечных весах (гири можно ставить на обе чашки). Объясните свой ответ.

32. В один сосуд входит 3 литра, а в другой - 5 литров. Как с помощью этих сосудов налить в кувшин 4 литра воды из крана. Опишите последовательность действий.

33. От пристани отправились два катера: один по течению, другой против течения. Одновременно с ними от пристани отчалил плот. Спустя 90 мин с плота поступил сигнал «бедствия». Оба катера направились к плоту. Какой катер прибудет на помощь быстрее, если известно, что их собственная скорость одинакова?

34. Из пункта А в пункт В выехали одновременно рейсовый автобус и маршрутное такси, которое после прибытия в пункт В сразу отправилось обратно и встретилось с автобусом посередине между А и В. определите скорость маршрутного такси, если автобус двигался со скоростью 25 км/ч.

35. В свежих ягодах содержится 99% воды. Когда ягоды высушили, воды в них осталось 98%. Во сколько раз уменьшился вес ягод после сушки?

36. Таракан Валентин объявил, что умеет бегать со скоростью 50 м/мин. Ему не поверили, и правильно: на самом деле Валентин все перепутал и думал, что в метре 60 сантиметров, а в минуте 100 секунд. С какой скоростью (в «нормальных» м/мин) бегает таракан Валентин?

37. В хороводе по кругу стоят 30 детей. Правый сосед каждой девочки – мальчик. У половины мальчиков правый сосед тоже мальчик, а у всех остальных мальчиков справа стоит девочка. Сколько мальчиков и сколько девочек в хороводе?

38. Разрежьте квадрат на 4 части одинаковой формы и размера так, чтобы в каждую часть попало ровно по одному заштрихованному квадратику.

39. Разрежьте фигуру, полученную из прямоугольника 4´5 вырезанием четырех угловых клеток 1´1, на три части, не являющиеся квадратами, так, чтобы из этих частей можно было сложить квадрат.

40. В семье четверо детей. Им исполнилось 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Аня, Миша, Вера и Женя. Одна из девочек ходит в детский сад. Аня старше Миши. Сумма возрастов Ани Жени делится на 3. Кто Женя: мальчик или девочка?

41. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник встретил двух туземцев - А и Б. Туземец А произнес фразу: «По крайней мере, один из нас (А и Б ) - лжец». Можно ли сказать, кем является А и кем является Б (рыцарем или лжецом)?

42. Путешественник прибыл на остров, на котором живут лжецы (Л) и правдолюбцы (П). Каждый Л, отвечая на вопрос «Сколько...?», называет число на 2 больше или на 2 меньше, чем правильный ответ, а каждый П отвечает верно. Путешественник встретил двух жителей острова и спросил у каждого, сколько Л и П проживают на острове. Первый ответил: «Если не считать меня, то 1001 Л и 1002 П», а второй: «Если не считать меня, то 1000 Л и 999 П». Сколько Л и П на острове? Кем оказались первый и второй жители острова?

43. Население острова состоит из рыцарей (которые всегда говорят правду) и лжецов (которые лгут). Троим островитянам идущим вместе, встретился турист, который спросил у каждого из них: «Сколько рыцарей среди Ваших спутников?».

«Один» – ответил первый.

«Ни одного» - ответил второй.

Что сказал третий островитянин?

44. Инопланетяне сообщили жителям Земли, что в системе их звезды три планеты , и они живут на второй планете. Из-за помех передача ухудшилась, но было принято еще два сообщения, которые, как установили ученые, оказались ложными:

- - не третья планета системы,

- - вторая планета системы.

Установите, каким планетами являются планеты .

45. За столом сидят 5 человек. Каждый из них либо рыцарь, либо является лжецом. Каждый из них утверждает: «Мои соседи слева и справа - оба лжецы». Сколько рыцарей сидит за столом?

46. В стране 6 городов. Можно ли эти города соединить между собой так, чтобы из каждого города выходило ровно по четыре дороги, причем все дороги прямые и друг с другом не пересекаются? Выполните рисунок.

47. Женя разорвал лист бумаги на 10 кусков. Затем он взял один из кусков и разорвал его еще раз на 10 кусков. После этого из имеющихся кусков он выбрал три и разорвал каждый из них на 10 кусков. Сколько в результате кусков бумаги у него получилось?

48. По кругу записаны 2007 натуральных чисел. Докажите, что найдутся два соседних числа, сумма которых - четная.

49. В стаде 8 овец. Первая съест копну сена за 1 день, вторая – за 2 дня, третья – за 3 дня, …, восьмая – за 8 дней. Кто быстрее съест копну сена: две первые овцы или все остальные вместе?

50. Во время забега на 1000 м вперед вырвался Андрей, вторым бежал Борис, а третьим – Виктор. За время бега Андрей и Борис менялись местами 6 раз, Борис и Виктор – 5 раз, Андрей и Виктор – 4 раза. В каком порядке прибежали спортсмены к финишу?

51. Придумайте число, которое кратно 2007, и сумма цифр которого кратна 2007.

8 класс

1. Сколько двузначных чисел увеличивается более, чем в три раза, при перестановке цифр?

2. Миша задумал одно трехзначное число и одно двухзначное число. Найдите сумму этих чисел, если их разность равна 989.

3. Придумайте три правильные несократимые дроби, сумма которых – целое число, а если каждую из этих дробей «перевернуть» (т.е. заменить на обратную), то сумма полученных дробей тоже целым числом.

4. Некоторые семь цифр выписали в ряд в порядке возрастания. После того, как цифры заменили буквами, получилось AGKNORU. Какое наибольшее число может получиться, если в слове KANGOUROU заменить буквы соответствующими им цифрами?

5. Сумма цифр натурального числа А равна сумме цифр числа 3А. Докажите, что:

1. А делится на 3;

2. А делится на 9.

6. Делится ли на 2005 сумма чисел 1+2+3+ ……………..+2005.

7. Из цифр 1, 5, 9 составили семизначное число. Какой остаток от деления на 4 этого числа можно получить.

8. Число десятков двузначного числа в 3 раза больше числа его единиц. После того, как цифры в записи числа поменяли местами, получилось число на 36 меньше исходного. Найдите первоначальное число.

9. Число десятков двузначного числа в 2 раза меньше числа его единиц. После того, как цифры в записи числа поменяли местами, получилось число на 36 больше исходного. Найдите первоначальное число.

10. Дробь , в которой разными буквами обозначены разные цифры и между буквами стоят знаки умножения, равна целому числу. Найдите это число.

11. Установите количество пятизначных чисел, кратных числу 1000, но не кратных числу 2000.

12. В выражении 1:2:3:4:5:6:7:8:9 расставьте скобки так, чтобы результат был: а) минимальным; б) максимальным.

13. Сколько существует девятизначных чисел, у которых все цифры различны и идут (слева направо) в порядке убывания?

14. По кругу расставлены цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 в произвольном порядке. Каждые три цифры, стоящие подряд по часовой стрелке, образуют трехзначное число. Зависит ли сумма всех девяти таких трехзначных чисел от порядка, в котором расставлены цифры? Найдите эту сумму.

15. Запишите числа 1111; 11111; 111111 в виде 9а+b, где а и b - натуральные числа.

16. Группа одноклассников планирует поездку на экскурсию. Если каждый из них внесет по 14000 руб, то для покрытия затрат на поездку не хватит 4000 руб. Если же каждый внесет по 16000 руб, то 6000 окажутся лишними. Какую плату (одинаковую для всех) должен внести каждый школьник, чтобы в точности покрыть затраты на поездку?

17. Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет и отдал второму. Потом второй проиграл половину своих монет, потом снова первый проиграл половину своих. В результате у первого оказалось 19 монет, а у второго 43. Сколько монет было у каждого пирата до игры?

18. Из горячего крана ванна наполняется за 23 минуты, из холодного - за 17 минут. Катя открыла горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный, чтобы горячей воды к моменту наполнения ванны налилось в 1,5 раза больше, чем холодной?

19. «Бабушка, сколько лет твоему внуку?» - «Моему внуку столько месяцев, сколько мне лет, а вместе нам 52 года». Сколько лет внуку?

20. Сколько бабушек и прабабушек было у ваших прабабушек и прадедушек?

21. (Старинная задача). За 25 бубликов заплатили столько рублей, сколько бубликов можно купить на рубль. Сколько стоит один бублик?

22. Двум братьям вместе 35 лет. Сколько лет каждому, если половина лет одного равна трети лет другого?

23. На доске записано число 321321321321. Какие цифры нужно стереть, чтобы получить наибольшее из возможных натуральных чисел, кратных числу 9?

24. В клетках квадратной таблицы 10´10 произвольным образом расставлены числа от 1 до 100. Пусть S₁ , S₂ , ..., S₁₀ – суммы чисел, стоящих в столбцах таблицы. Могло ли оказаться так, что среди чисел S₁ , ..., S₁₀ любые два соседних числа различаются ровно на 1?

25. Из пункта А в пункт В одновременно выехали велосипедист и мотоциклист. Доехав до пункта В, мотоциклист сразу же отправился обратно и встретил велосипедиста, преодолевшего к этому времени третью часть расстояния от А до В. Определите скорость мотоциклиста, если скорость велосипедиста равна 12 км/ч.

26. Из пункта А в пункт В одновременно выехали гужевая повозка и мотоциклист. После прибытия в пункт В, мотоциклист сразу же отправился обратно и встретил гужевую повозку, отъехав от пункта В на расстояние, равное двум третьим расстояния между А и В. Определите скорость гужевой повозки, если скорость мотоциклиста равна 45 км/ч.

27. Из пункта А в пункт В одновременно выехали велосипедист и мопед. После прибытия в пункт В, мопед сразу же отправился обратно и встретил велосипедиста, отъехав от пункта В на расстояние, равное двум пятым расстояния между А и В. Определите скорость велосипедиста, если скорость мопеда равна 35 км/ч.

28. В треугольнике АВС угол ВАС в три раза больше угла АВС и в два раза меньше угла ВСА. Определите величину угла ВАС.

29. Определите вид треугольника, если известно, что биссектриса одного из его внешних углов параллельна стороне треугольника.

30. Определите вид треугольника, у которого серединные перпендикуляры, проведенные к двум его сторонам, пересекаются под прямым углом.

31. Дан равносторонний треугольник АВС. На продолжении стороны СВ за точку В отмечена точка D, а на продолжение стороны AB за точку В – точка М так, что CD = ВМ. Докажите, что AD = DМ.

32. Покрасьте шесть клеток таблицы размером 6х6 в черный цвет так, чтобы из нее нельзя было вырезать ни белой полоски размером 1х6, ни белого квадрата размером 3х3.

33. На рисунке изображена квадратная доска для игры в дартс. За попадание дротиком в каждую из четырех зон доски начисляются баллы, количество которых обратно пропорционально площади зоны. За попадание в зону В игрок получает 10 баллов. Сколько баллов он получит за попадание в зону С?

D

C

B

A

34. Нарисуйте, как можно разрезать квадрат на 16 равных треугольников, чтобы из них можно было сложить 8 равных квадратов.

35. На 100-клеточной квадратной белой доске два игрока закрашивают ее клетки в черный цвет: первый всегда закрашивает квадрат 2х2, а второй – уголок, образованный тремя клетками. Уже закрашенную клетку второй раз красить нельзя. Какой игрок – первый или второй – выиграет при правильной игре?

36. Сторож работает 4 дня подряд, а каждый пятый день у него – выходной. Сегодня – воскресенье, и у сторожа – выходной. Через какое наименьшее число дней у сторожа будет выходной в воскресенье?

37. В некотором году три месяца подряд содержат всего по четыре воскресенья. Докажите, что один из этих месяцев - февраль.

38. На крыльце дома сидят мальчик и девочка. Женя говорит: «Я - мальчик». Саша говорит: «А я - девочка». Известно, что по крайней мере один из детей говорит неправду. Кто же из них мальчик, а кто - девочка?

39. В городской олимпиаде по математике участвовали два близнеца. На вопрос о том, есть ли у них еще братья и какого они возраста, близнецы ответили: «У нас есть брат, его возраст записывается двумя одинаковыми цифрами, а суммарный возраст всех нас троих – двузначное число, у которого вторая цифра вдвое больше первой». Определите возраст братьев.

40. Известно, что в наборе из 12 одинаковых по виду монет есть две фальшивые, которые отличаются от остальных по массе (настоящие монеты равны по массе друг другу и фальшивые монеты также равны по массе друг другу). Как разделить все монеты на две равные по весу кучки, сделав не более трех взвешиваний на чашечных весах без гирь?

41. В ящике 24 кг гвоздей. Как на чашечных весах без гирь и без стрелки отмерить 9 кг гвоздей?

42. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник встретил двух туземцев - А и Б. Туземец А произнес фразу: «По крайней мере, один из нас (А или Б) - лжец». Можно ли сказать, кем является А и кем является Б (рыцарем или лжецом)?

43. В классе 33 человека. У каждого ученика спросили, сколько у него в классе тёзок и сколько однофамильцев (включая и родственников). Среди ответов учащихся встретились все целые числа от 0 до 10. Докажите, что в классе есть два ученика с одинаковыми фамилией и именем.

44. В прямоугольном треугольнике АВС отмечена середина гипотенузы АВ – точка К. На катете ВС выбрана точка М так, что ВМ = 2 МС. Докажите, что ÐМАВ = ÐМКС.

45. На сторонах АВ, ВС и АС равностороннего треугольника АВС взяты соответственно точки D, E, F так, что AD = BE = CF. Определите вид треугольника DEF.

9 класс

1. Числа m, n, k положительные и удовлетворяют условию m+nk =(n+m) (m+k). Установите, что эти числа удовлетворяют условию n+mk=(m+n) (n+k).

2. Числа попарно различны и . Найдите .

3. Докажите, что для любого натурального числа n можно выбрать такое натуральное число а, чтобы число a(n + 1) – (n² + n + 1) нацело делилось на n³.

4. Пусть х, у, z – натуральные числа, причем х²+ у² = z². Докажите, что х, у, или z кратно 5.

5. Известно, что . Может ли быть а) б)

6. Найдите, какие натуральные числа нельзя представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел. Запишите их вид.

7. На какую наибольшую степень двойки делится число .

8. Найдите наибольшее значение, которое может принимать выражение .

9. Найдите четырехзначные числа , удовлетворяющее условию .

10. В равенстве различные буквы соответствуют различным цифрам, одинаковые – одинаковым цифрам. Определите значение Г - О.

11. Вычислите .

12. Для положительных чисел два условия и . Докажите, что .

13. Для каких цифр выполняется равенство .

14. Расшифровать равенство КЛОП + КЛОП + КЛОП + КЛОП = ПОЛК. (одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными - разные).

15. Какие цифры нужно поставить вместо букв А и Б, чтобы равенство АБ × А × Б = БББ было верным? (Следует иметь в виду, что АБ – двузначное число, а БББ – трехзначное число).

16. Сколько существует девятизначных чисел, у которых все цифры различны и идут (слева направо) в порядке убывания?

17. Длиной натурального числа n будем называть количество его сомножителей в разложении на простые множители. Например, длина числа 90=2ּ3ּ3ּ5 равна 4. Сколько нечетных чисел, меньших 100, имеют длину 3?

18. Известно, что 888ּ111=2ּ(2ּn)². Найдите натуральное число n.

19. Существуют ли такие два числа, что их сумма равна их произведению и равна частному от деления одного из этих чисел на другое?

20. Страницы книги пронумерованы подряд с первой страницы до последней. Хулиган Вовочка вырвал из разных мест книги 25 листов и нашел сумму номеров всех вырванных страниц, у него получилось число 2006. Когда об этом узнал отличник Коля, то он заявил, что Вовочка ошибся. Объясните, почему Коля прав.

21. В ряд выписаны цифры 1, 2, 3, 1, 2, 3,…, 1, 2, 3 (группа цифр (1,2,3) повторяется в этой записи 342 раза). На первом шаге вытирают все цифры, стоящие на нечетных местах. На втором шаге вытирают все цифры, стоящие на нечетных местах в полученном новом ряду. Затем опять проделывается та же операция; и так до тех пор, пока не останется одна цифра. Какая это будет цифра?

22. Чтобы узнать, является ли число 1601 простым, его стали последовательно делить на 2, 3, 5 и т.д. На каком числе можно прекратить испытания?

23. Электрический провод длиной 25 м ночью был перерезан где-то в одном месте. Можно ли из образовавшихся двух частей провода вырезать куски длиной 1, 2, 3, 6 и 12 м?

24. Из пункта А в пункт В одновременно отправляются катер и плот. Приплыв в пункт В, катер тут же отправляется обратно. Вернувшись в пункт А, он немедленно отплывает в пункт В и догоняет плот как раз в пункте В. Во сколько раз быстрее плота плыл катер на участке от пункта А до В?

25. У трех сестер Веры, Надежды и Любови дни и месяцы рождения совпадают – 30 сентября. В день совершеннолетия – 18 лет – старшей сестры Веры оказалось, что сумма возрастов всех сестер делится на 18. В день 18-летия Надежды ситуация повторилась. Определите, сколько лет будет каждой сестре, когда младшая – Любовь – станет совершеннолетней.

26. На доске записали три числа. После того, как нашли их произведение, сумму и сумму попарных произведений оказалось, что получили три записанных на доске числа. Какие числа записаны на доске?

27. Из пункта А в пункт В отправились одновременно велосипедист и пешеход. После прибытия в пункт В велосипедист сразу же отправился обратно и встретил пешехода, отъехав от пункта В на расстояние, равное трем четвертым расстояния между А и В. определите скорость пешехода, если скорость велосипедиста равна 21 км/ч.

28. Из пункта А в пункт В отправились одновременно велосипедист и автомобиль. После прибытия в пункт В автомобиль сразу же отправился обратно и встретил велосипедиста, отъехав от пункта В на расстояние, равное трем пятым расстояния между А и В. определите скорость велосипедиста, если скорость автомобиля равна 60 км/ч.

29. Кузнечик прыгает вдоль прямой вперед на 80 см или назад на 50 см. Может ли он менее чем за 7 прыжков удалиться от начальной точки ровно на 1 м 70 см?

30. На свои деньги Петя может купить 8 бубликов и 7 пирожных или 5 бубликов и 8 пирожных. Сколько одних бубликов может купить Петя на свои деньги?

31. Килограмм говядины с костями стоит 78 рублей, килограмм говядины без костей – 90 рублей, а килограмм костей – 15 рублей. Сколько граммов костей в килограмме говядины?

32. Из Простоквашино в Ромашково выехал почтальон Печкин. Одновременно из Ромашково в Простоквашино вышел кот Матроскин. После их встречи Печкин повернул обратно, а кот Матроскин продолжил свой путь. Почтальон Печкин вернулся в Простоквашино на 30 минут раньше Матроскина, а его скорость была в 6 раз больше скорости кота. Сколько времени затратил на путь из Ромашково в Простоквашино кот Матроскин?

33. Гонцу надо было пробежать 24 мили. Две трети этого расстояния он бежал со средней скоростью 8 миль в час. Сможет ли он, увеличив скорость, пробежать остаток пути так, чтобы его средняя скорость на всем пути оказалась равной 12 миль в час?

34. Человек обычно приезжал на станцию одним и тем же поездом. К этому времени за ним приходила машина и отвозила его домой. Однажды он приехал на час раньше. Он пошел пешком, встретил на дороге машину и вернулся домой на 20 минут раньше обычного. Сколько времени он шел пешком?

35. Лев купил себе на завтрак стакан сока, салат и кусочек хлеба. Он заметил, что цена сока составляет столько же процентов от цены всего завтрака, сколько цена салата от цены сока. А выпив сок, он понял, что цена хлеба составляет 10% от цены оставшейся части завтрака. Сколько процентов от цены завтрака составляла цена салата?

36. Решите уравнение .

37. Найдите все квадратные трехчлены х²+px+q такие, что оба их коэффициента p и q являются их корнями.

38. Рассматриваются квадратичные функции вида у = х² + рх + g, у которых . Докажите, что их графики проходят через одну точку.

39. В треугольнике MNK сторона MN= 2, угол М равен , угол N равен . На стороне MK взята точка О такая что МО=1. Найдите углы треугольника ONK.

40. Угол между высотами остроугольного треугольника MNK равен , и точка пересечения высот делит одну из высот в отношении 2:1 считая от вершины треугольника. Докажите, что треугольник MNK равносторонний.

41. На диагонали ВD квадрата АВСD взяты точки Е и Н так, что прямая АЕ пересекает сторону ВС в точке М, а прямая АН пересекает сторону СD в точке К и СМ = СК. Найдите длины диагоналей квадрата, если ВЕ=3, ЕН=4.

42. Точка D – середина стороны АС треугольника АВС, DE и DF – биссектрисы треугольников АВD и CBD. Отрезки BD и EF пересекаются в точке М. Докажите, что .

43. Найдите углы треугольника MNK, если известно, что угол N в 2 раза больше угла М и медиана КВ перпендикулярна биссектрисе ND угла N.

44. Докажите, что любой треугольник можно разрезать на три части так, что из них можно сложить прямоугольный треугольник.

45. На стороне MN квадрата MNKB внутри него построен равносторонний треугольник MNC. Прямая ВС пересекает сторону NK в точке D. Найдите величину угла NCD.

46. Угол между двумя высотами остроугольного треугольника АВС равен 60°, и точка пересечения высот делит одну из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Докажите, что треугольник АВС – равносторонний.

47. Про некоторый треугольник АВС известно, что на его стороне ВС существует такая точка D, что AD=BD и AB=DC=AC. Найдите углы этого треугольника.

48. Основание ВС трапеции ABCD равно боковой стороне АВ и в два раза меньше основания AD. Найдите величину угла ACD.

49. Население острова состоит из рыцарей, которые всегда говорят правду, и лжецов, которые всегда лгут.

Троим островитянам, шедшим вместе, встретился турист, который каждому задал вопрос: «Сколько рыцарей среди Ваших спутников?».

Первый ответил: «Один».

Второй сказал: «Ни одного».

Что сказал третий островитянин?

50. Петя, Вася, Коля и Миша играли в футбол. Кто-то из них разбил мячом стекло. На вопрос «Кто это сделал?» Петя, Вася и Коля ответили «Не я», а Миша «Не знаю». Потом оказалось, что двое из них сказали правду, а двое - неправду. Знает ли Миша, кто разбил стекло? Ответ объясните.

51. От полудня до полуночи Кот Ученый спит под дубом, а от полуночи до полудня – бодрствует, рассказывая сказки. На дубе висит плакат: «Два часа назад Кот Ученый делал то же самое, что он будет делать через час». Сколько часов в сутки утверждение на плакате является истинным?

52. На полоске клетчатой бумаги двое играющих по очереди закрашивают клетки: первый всегда закрашивает пять любых подряд идущих клеток, второй – четыре клетки подряд. Причем, уже закрашенную клетку второй раз красить нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре – первый или второй, если по длине полоски размещено 2006 клеток?

53. Вовочка рвет листок с результатами неудачного тестирования. За одну секунду он может разорвать какой-то один из клочков на 2 части или разорвать на две части каждый клочок. Может ли Вовочка через 16 секунд получить ровно 2004 клочка?

54. Через точку В проведены четыре прямые так, сто АВ ^ ВМ, ВЕ ^ ВС, и проведена прямая АС, пересекающая данные прямые так, что АВ = ВС. Прямая АС пересекает ВМ в точке М, АС пересекает ВЕ в точке Е. Докажите, что треугольник АВЕ равен треугольнику ВСМ.

55. Какой угол составляют часовая и минутная стрелка в 7 часов 38 минут?

10 класс

1. Лев придумал новую алгебру, в которой сумма чисел А и В выражается через обычные арифметические действия формулой (А+В)/(1-АВ). Равны ли в новой алгебре Льва произведения 3 на 4 и 4 на 3?

2. В некотором трехзначном числе поменяли местами две последние цифры и сложили полученное число с исходным. Получилось четырехзначное число, начинающееся на 195. Какой могла быть последняя цифра исходного числа?

3. Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух?

4. Петя забыл код своего замка. Но он помнит, что код состоит из трех различных ненулевых цифр, вторая цифра делится на третью, причем квадрат частного равен первой цифре. Сколько различных комбинаций Петя должен проверить, чтобы наверняка открыть замок?

5. Найдите шестизначное число такое, что если стереть его последнюю цифру и приписать ее спереди, то получится число, в 5 раз большее исходного.

6. На доске записаны числа 20 и 25. К уже записанным на доске числам разрешается дописать число, равное сумме любых двух из уже записанных. Можно ли, повторяя эту операцию, получить на доске число 2005?

7. Найдите три последние цифры суммы 1! + 2! + 3! + ... + 2005!

8. Сумма четырех чисел равна 100. Если первое число увеличить на 4, второе – в 4 раза, третье число уменьшить на 4, а четвертое – в 4 раза, получатся равные результаты. Найдите эти числа.

9. Докажите, что число

9+99+999+…+

делится на 999.

10. Подряд написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, ..., 2000. Первое, третье, пятое и т.д. по порядку вычеркивают. Из оставшихся 1000 чисел снова вычеркивают первое, третье, пятое и т.д. Так делают, пока не останется одно число. Что это за число?

11. У Наташи

400⁵–399² ·(400³+2·400²+3·400+4) рублей.

Мороженое стоит 2005 рублей. Хватит ли у Наташи денег на мороженое?

12. Упростить (2+1) (2²+1) (2⁴ +1) (2⁸+1) (2¹⁶+1) (2³²+1) (2⁶⁴+1).

13. Числитель и знаменатель дроби – положительные числа. Числитель увеличили на 1, а знаменатель – на 10. Может ли увеличиться при этом дробь?

14. Найдите значение а, если .

15. Докажите, что всякое натуральное число, запись которого при любом основании системы счисления, превосходящем 2, имеет вид 121, является полным квадратом.

16. При каких действительных значениях m и n выражение имеет смысл?

17. Подряд записаны первые 2007 натуральных чисел. Каких цифр при записи этих чисел использовано больше – единиц или двоек? На сколько?

18. Действительные числа и такие что , . Найдите значение выражения .

19. Докажите, что если для натуральных чисел т и с справедливо равенство

2 т = с²+1,

то число т можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел.

20. Числа m, n, k попарно различны и . Найдите .

21. Известно, что и . Может ли оказаться, что ac+bd>1.

22. Найдите наибольшее значение, которое может принимать выражение . При каком b оно достигается?

23. Какое наименьшее значение может принимать выражение , если a>0,b>0,c>0 и a+b+c=1.

24. В арифметической (a_n) и геометрической (b_n) прогрессиях взято по три положительных члена a₁, a₂, a₃ и b₁, b₂, b₃, причем a₁=b₁; a₃=b₃. В какой прогрессии сумма этих трех членов больше?

25. Среднее арифметическое десяти попарно различных натуральных чисел равно 10. Какое наибольшее значение может принимать самое большое из этих чисел?

26. Пусть cosх ¹ 0. Докажите неравенство .

27. Найдите четырехзначные числа , удовлетворяющие условию .

28. Решите уравнение

2004[х]–2005{х}=0.

29. Найдите число корней уравнения , где - дробная часть числа .

30. Укажите все корни уравнения х²+1=cosx.

31. Решите уравнение .

32. Известно, что число а является корнем уравнения . Найдите значение выражения

33. Сколько корней имеет уравнение .

34. Имеется два квадратных трехчлена и причем корнями первого являются числа m и n , а корнями второго а и b. Какое значение может принимать сумма этих трехчленов при х=2.

35. Известно, что для некоторой квадратичной функции f(x)=ax²+bx+c выполнены неравенства f(-1)<1, f(1)>-1, f(3)<-4. Определите знак коэффициента а.

36. Про функцию известно, что для любых а и b выполняется равенство . Верно ли, что .

37. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты х, у которых удовлетворяют неравенству .

38. На координатной плоскости отмечены точки A(0, 0), B(1, 0), C(3, 0), D(4, 0), E(–2, 5), F(–1, 5), G(8, 5), H(9, 5). Может ли график квадратного трехчлена пересекать четыре отрезка: AB, CD, EF и GH?

39. Даны две скрещивающиеся прямые а и b и не принадлежащая им точка Р. Как провести прямую, проходящую через точку Р и пересекающую прямые а и b. Всегда ли задача имеет решение?

40. Два равнобедренных треугольника АВС и ABD с общим основанием расположены в различных плоскостях. Докажите, что AB^CD. Постройте отрезок, перпендикулярный к АВ и CD.

41. Дана равнобокая трапеция с основаниями 11 и 17. Покажите, как ее можно разрезать на четыре равные трапеции.

42. Пусть a и b – длины двух меньших сторон прямоугольного треугольника, d и D – диаметры его соответственно вписанной и описанной окружности. Найдите сумму d+D.

43. На стороне EF прямоугольника ABEF выбрана точка С, так, что ÐACF=CDE. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что FC=6 и СЕ=2.

44. В четырехугольнике ABCD диагональ BD является биссектрисой угла ÐАВС и АС=ВС. Найдите ÐBAD, если известно, что ÐАВС=20° и ÐBDC=80°.

45. Найдите угол при вершине С остроугольного треугольника АВС, если известно, что отрезок HN, соединяющий основания высот AH и BN, пересекает биссектрису угла при вершине С в ее середине.

46. Периметр прямоугольного треугольника равен 132, а сумма квадратов его сторон 6050. Найдите стороны этого треугольника.

47. Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Известно, что АВ = СН. Найдите величину угла АСВ.

48. Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Известны длины его сторон: АВ = 32, ВС = 5, СD = 45, АD = 60. Найдите угол между прямыми АВ и СD.

49. Отрезок AB длиной 2005 мм разбит на n равных отрезков, на каждом из которых, как на диаметре, построена окружность (на рисунке изображено в качестве примера разбиение на 7 равных отрезков).

A B

Определите значения, которые может принимать сумма длин всех этих окружностей.

50. Существует ли выпуклый 2000-угольник, все углы которого выражаются целым числом градусов?

51. Дан остроугольный треугольник АВС. Окружность с центром на середине стороны ВС пересекает стороны АВ и АС в точках D и Е соответственно. Оказалось, что АD= АЕ. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

52. В трапеции ABCD боковая сторона CD перпендикулярна основанию AD, AD=8, AB=4. Окружность, которая проходит через вершины А, В и С, содержит трапецию внутри и пересекает продолжение диагонали BD в точке К такой, что ВК=9. Найдите длину диагонали BD.

53. Три студента нашли амфору. Один из них сказал, что амфору изготовили финикийцы в V веке до н.э., другой – что ее изготовили греки в III веке до н.э., а третий – что она не греческая, а изготовлена в IV веке до н.э. Руководитель практики, к которому они обратились, чтобы решить эту противоречивость, сказал, что у каждого студента одно утверждение верное, другое – лживое. Кем и когда изготовлена амфора?

54. В компании из трех человек один – правдивец (1), т.е. всегда говорит правду, один – лжец (2), т.е. всегда лжет, и один – дипломат (3), т.е. говорит правду или лжет по своему усмотрению. Чтобы узнать, кто из них есть кто, каждого спросили, кто он есть. Первый ответил, что он правдивец, второй – что он не дипломат, а третий – что он ни правдивец, ни дипломат. Определите, кто есть кто.

55. В коробке лежат красные, синие и белые карточки, всего 60 штук. Если все красные карточки заменить синими, то синих карточек станет в три раза больше, чем красных. Сколько синих карточек находится в коробке?

56. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. Одновременно из В в А по той же дороге выехал мотоциклист. Через 30 минут велосипедисту оставалось проехать 3 км до середины пути; мотоциклист же через 20 минут после начала движения уже отъехал от середины пути 2 км. Через какое время после начала движения произошла встреча велосипедиста с мотоциклистом?

57. Петя, Вася, Коля и Миша играли в футбол. Кто-то из них разбил мячом стекло. На вопрос «Кто это сделал?» пять свидетелей ответили так:

n То ли Петя, то ли Вася.

n То ли Петя, то ли Коля,

n То ли Коля, то ли Миша.

n То ли Миша, то ли Вася.

n Не знаю.

Потом оказалось, что трое свидетелей сказали правду, а двое - неправду. Знал ли пятый свидетель, кто разбил окно?

58. Бригада землекопов должна была начать работу в 8 ч. Но, простояв в очереди за лопатами, землекопы начали работу позже: первый на 5 минут, второй – на 10 минут, третий – на 15 минут и т.д. До обеда бригада вырыла траншею, в 12 часов землекопы ушли на обед. После обеда землекопы работали с 13 до 16 часов и вырыли вторую траншею. Сколько землекопов было в бригаде?

59. Тестирование по математике проходили 100 учеников, среди которых были математики, которые всегда правдиво и правильно отвечают на любой вопрос, и математики, которые всегда лгут, разговаривая на нематематические темы. Первые 60 учеников, выходя после тестирования, заявили: «Среди оставшихся в аудитории учеников лжецов больше, чем правдивых». Можно ли определить, сколько всего лжецов принимало участие в тестировании?

60. Три мужа – Андрей, Иван и Степан пошли со своими женами – Анной, Екатериной и Ольгой за покупками. Каждый платил за каждую вещь по стольку рублей, сколько он купил вещей. Андрей купил больше Анны на 23 вещи. Иван – больше Екатерины на 11 вещей, а Степан – меньше Ольги на 23 вещи. Определить, кто на ком женат, если каждый из мужей израсходовал 63-мя рублями больше своей жены.

61. У фальшивомонетчика есть 40 внешне одинаковых монет, среди которых 2 фальшивые – они легче, чем остальные, и весят одинаково. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь отобрать 20 настоящих монет?

62. Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника, пересекаясь образуют квадрат.

63. Какой треугольник надо взять, чтобы после проведения в нем одного отрезка получить все известные виды треугольников: равносторонний, равнобедренный, разносторонний, прямоугольный, остроугольный, прямоугольный?

11 класс

1. Подряд написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, ..., 2000. Первое, третье, пятое и т.д. по порядку вычеркивают. Из оставшихся 1000 чисел снова вычеркивают первое, третье, пятое и т.д. Так делают, пока не останется одно число. Что это за число?

2. Найдите наименьшее натуральное число такое, что для любой цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 число имеет делитель, оканчивающийся этой цифрой.

3. Найдите все целые положительные числа , для которых значение выражения делится на 7 без остатка.

4. Докажите, что при выполняется тождество

.

5. Найдите значение выражения

При .

6. Задуманное число умножили на 2 и вычли 1. После применения такой процедуры 98 раз (каждый последующий раз со вновь полученным числом) получилось число 2¹⁰⁰+1. Какое число было задумано?

7. Докажите, что из любых пяти чисел можно выбрать два числа а и b таких, что выполняется неравенство

8. Лев придумал новую алгебру, в которой сумма чисел А и В выражается через обычные арифметические действия формулой (А+В)/(1-АВ). Чему в новой алгебре Льва равно произведение 8 на 8?

9. Абитуриент принял участие в тестировании. Тестирование проводилось по трем предметам с равным количеством тестовых заданий по каждому предмету. С математикой абитуриент справился довольно успешно, выполнив 19 заданий, по физике удалось верно ответить ровно на 30% предложенных вопросов, а по русскому языку результат оказался хуже, чем по физике. Но в общей сложности абитуриент правильно выполнил ровно половину от общего количества тестовых заданий. Определите, из скольких заданий был составлен тест по каждому предмету.

10. Известно, что а . Найдите сумму:

11. Сколько существует множеств последовательных натуральных чисел, содержащих более одного числа, у которых сумма чисел равна 100?

12. Попарно действительные числа удовлетворяют условию . Найдите .

13. Найдите сумму коэффициентов многочлена (2 х³-х²+х-3)²⁰⁰⁵•(х²-2х) ²⁰⁰⁶.

14. Квадратный трехчлен ах²+bх +с имеет корни. Верно ли, что трехчлен а³х²+ b³х + с³ также имеет корни?

15. Найдите все натуральные числа n, при которых уравнение

х² - 7nх + 150 = 0

имеет два целых корня.

16. Решите уравнение

17. Решите уравнение .

18. На доске записано уравнение

х⁴+ ...х³ + ...х² + ...х + ... = 0,

и двое учеников ставят вместо многоточий целые числа. Начинающий игрок стремится к тому, чтобы после четвертого шага получилось уравнение, не имеющее целых корней, второй игрок стремится к противоположному. Кто выиграет при правильной стратегии?

19. Решите уравнение 2х + sin⁴ х = 2 + sin⁴1.

20. При каких значениях а число решений уравнения равно а?

21. Рассматриваются квадратные трехчлены вида x² + px + g с целыми коэффициентами, при этом p + g = 30. Сколько таких трехчленов имеют целые корни?

22. Сколько корней имеет уравнение

23. Сколько корней имеет уравнение

24. Найдите решение неравенства <

25. Дано уравнение с переменной х:(a²-1)(b-1)x=(a-1)(b²-1). При каких значениях а найдется значение b такое, что данное уравнение не имеет корней?

26. Найдите все функции f, удовлетворяющие при любых действительных х и у уравнению

f (x–y) = f (x) + f (y) – 2xy.

27. Найдите все функции f(x), заданные на множестве всех действительных чисел и принимающие действительные значения, такие, что для всех действительных х выполнено равенство

х = f(x) + f({x}).

({x} обозначает дробную часть числа х.)

28. Найдите f(2006), если для любых значений переменной х f(x+1)=2f(x)-2002 и f(2005)=2008.

29. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, у которого все вершины лежат на параболе у = х² и гипотенуза параллельна оси абсцисс, равна 1.

30. На координатной плоскости изобразите множество точек плоскости удовлетворяющее условию .

31. Найдите наименьшее значение функции у=х(х+1)(х+2)(х+3).

32. Докажите, что функция - нечетная.

33. В треугольнике АВС биссектрисы углов А и В пересекают описанную окружность в точках К и L. Отрезки АК и ВL пересекаются в точке Х и делятся этой точкой в равных отношениях, считая от вершин треугольника. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

34. Определите стороны треугольника АВС, если известно, что из отрезков, длины которых равны cosÐA, cosÐB, cosÐC можно составить треугольник, равный треугольнику АВС.

35. Дан параллелограмм АВСD. На сторонах ВС и СD и диагонали ВD взяты соответственно точки Н, К, М так, что МН ïê АВ, МК êêАD. Отрезки АН и АК пересекают диагональ ВD в точках Е и Т соответственно. Доказать, что площадь треугольника АЕТ равна сумме площадей треугольников ВЕН и ТКD.

36. Внутри прямоугольного треугольника MNK, угол К равен , взята точка О так, что треугольники OMN, ONK, OMK равновелики. Найдите ОК, если .

37. Имеется проволока длиной . Согните ее так, чтобы получился прямоугольник, ограничивающий по возможности наибольшую площадь.

38. В треугольной призме АВСА₁В₁С₁ с основанием АВС ребра АВ, АС и АА₁ попарно перпендикулярны и равны 2м. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, АА₁ и А₁С₁

39. В вершинах куба расставлены числа от 1 до 8. На каждой грани записана сумма чисел, расставленных в ее вершинах. Может ли оказаться так, что на гранях записано шесть последовательных натуральных чисел?

40. Куб размером 1х1х1 полностью оклеили шестью квадратами общей площадью 6. Обязательно ли все эти квадраты равны?

41. На плоскости провели 4 прямых, в результате чего она разбилась на несколько областей. В каждую область записали число участков, из которых состоит ее граница (эти участки могут быть отрезками, лучами или целыми прямыми). Найдите наибольшее и наименьшее значения суммы всех записанных чисел.

42. Из точки А, не лежащей на плоскости, проведены к ней две взаимно перпендикулярные наклонные АВ и АС, образующие с плоскостью углы 15° и 75°. Найдите углы В и С треугольника АВС.

43. В каждой клетке таблицы 2005 ´ 2005 стоит один абитуриент. По команде «Тест!» каждый абитуриент переходит в какую-то соседнюю по стороне клетку. Докажите, что после выполнения этой команды два каких-то абитуриента встретятся на одной из клеток.

44. А, И, Б сидели на трубе. К ним стали по очереди подсаживаться другие буквы так, что порядковый номер очередной буквы в русском алфавите равнялся сумме цифр порядковых номеров двух предыдущих букв. Оказалось, что начиная с некоторого момента буквы стали циклически повторяться.

Может ли циклически повторяющийся набор состоять из одной буквы? Если да, указать эту букву.

45. Гена красит каждую грань кубиков в черный или белый цвет, используя для окраски каждого кубика оба цвета. Сколько кубиков с различными окрасками он может получить? (Два кубика считаются окрашенными одинаково, если их можно совместить так, чтобы соответствующие грани были окрашены одинаково).

46. Две одинаковые бутылки были наполнены до краев фруктовым напитком. Отношение объема воды к объему сока в первой бутылке было равно 2:1, а во второй – 4:1. Все содержимое бутылок вылили в кувшин. Найдите отношение объема воды к объему сока в кувшине.

47. Каждый день Чарли говорит либо только правду, либо только ложь. Сегодня он сделал ровно четыре из следующих пяти заявлений. Какое из этих пяти заявлений он не мог сделать сегодня?

А) «У меня простое число друзей»

Б) «Среди моих друзей девушек столько же, сколько юношей»

В) «Число 288 делится на 12»

Г) «Я всегда говорю правду»

Д) «Трое из моих друзей старше меня»

48. В коробке находится 17 шаров, пронумерованных числами вида 125k+5, k=0, 1…, 16 (т.е. числами 5, 130, 255,…2005). Какое наименьшее число шаров надо вытащить, чтобы среди них шаров наверняка нашлись два шара, у которых сумма номеров равна 2010?

49. В клетках таблицы находятся 8 восемь звездочек. Какое наименьшее число звездочек нужно переставить в другие клетки, так, чтобы в каждой строчке оказалось ровно по 2 звездочки? Выполните рисунок.

*	*	*
*	*		*
	*
	*

50. В Пустоземье живут три племени: эльфы, гоблины и хоббиты. Эльф всегда говорит только правду, гоблин всегда лжет, а хоббит через раз говорит то правду, то ложь. Однажды за круглым столом пировало несколько пустоземцев, и один из них сказал, указав на своего левого соседа: «Он-хоббит». Сосед сказал: «Мой правый сосед солгал». В точности ту же фразу затем повторил его левый сосед, потом ее же произнес следующий по кругу и так они говорили «Мой правый сосед солгал» много-много кругов, да и сейчас еще, возможно, говорят.

Определите, из каких племен были пирующие, если известно, что за столом сидело

а) девять,

б) десять, -

жителей Пустоземья. Объясните свое решение.

51. В компании из трех человек один – правдивец (1), т.е. всегда говорит правду, один – лжец (2), т.е. всегда лжет, и один – дипломат (3), т.е. говорит правду или лжет по своему усмотрению. Чтобы узнать, кто из них есть кто, каждого спросили, кто он есть. Первый ответил, что он правдивец, второй – что он лжец, а третий – что он или правдивец, или лжец, или дипломат. Определите, кто есть кто.