Белорусская математическая олимпиада школьников
2011 / 2012 учебный год
II этап
9 КЛАСС

1. Найдите все такие четырёхзначные числа, у которых первая цифра равна произведению последних двух цифр, четвёртая цифра равна сумме первых двух цифр, а сумма цифр кратна пяти.

2. Решите систему уравнений:
, , , 
.

3. Докажите, что , если , ,  – положительные числа, причём .

4. Биссектриса AD треугольника ABC пересекает окружность, описанную около ABC, в точке E. На стороне AB треугольника ABC отмечена точка F так, что AF=AC. Докажите, что точки B, E, D, F лежат на одной окружности.

5. Мама купила Маше и Даше много конфет и разрешила каждой девочке брать не больше, чем по 4 конфеты в день. Маша, как младшая, берёт конфеты первой. Той, кто возьмёт конфеты последней (после чего они закончатся), мама обещала, как самой сдержанной, купить шоколадку. Определите, кто из девочек получит шоколадку, если конфеты они берут каждый день (хотя бы по одной конфете) по очереди, а шоколадку хочет получить каждая, причём мама купила: а) 25 конфет; б) 111 конфет.

Решения заданий 2 этапа республиканской олимпиады по математике
9 КЛАСС

9.1. Ответ: 2012; 7017.
Обозначим данное число и его цифры: . Тогда по условию:  (1),  (2). 
Если , то из (1) получаем: , чего не может быть, т.к. число  четырёхзначное.
Если , то из (1) получаем: , а из (2) следует, что . Это возможно лишь при . Теперь из (1) находим: , а из (2): .*
Сумма цифр числа  равна , т.е. нечётна и, по условию, кратна 5. При этом , а значит,  или . В первом случае , , а во втором: , . Т.о., числами, удовлетворяющими условию задачи, являются: 2012, 7017 (все условия для них уже проверены).
* Заметим, что случай  можно рассмотреть, например, следующим образом. Подставив  из (1) в (2), получим: , откуда:  (3). Т.к. , , то и , т.е. , что возможно лишь при  или . При из (3) следует, что , из (1) или (2): .

9.2. Ответ:  или  или .
Пусть наибольшее значение   равно , наименьшее – .
Рассмотрим уравнение, в правой части которого записано . Левая часть этого равенства не превышает  в силу выбора . Поэтому , . Отсюда находим: либо , либо .
Рассмотрим теперь уравнение, в правой части которого записано . Левая часть этого равенства не меньше  в силу выбора . Поэтому , . Отсюда находим: либо , либо .
Поскольку , то возможен лишь один из случаев: ; ; . Совпадение наибольшего и наименьшего значений   означает равенство . Легко убедиться, что каждое из значений , 0,  удовлетворяет исходной системе уравнений.

9.3. Применяя неравенство Коши  (1) при  и , получаем:
;; ; (2)
;
; ; ; (3)
;
.
И, окончательно: . (4)
Равенство в неравенстве Коши (1) достигается лишь при совпадении чисел  и . Следовательно, в (4) равенство достигается лишь при , что необходимо для достижения равенств в (3). Тогда . Однако в этом случае в неравенствах (2) равенство не достигается, поскольку, например, .
Итак, исходное строгое неравенство доказано.

9.4. Обозначим G точку пересечения AD и CF (см. рис. 1).
Так как AF=AC, то треугольник AFC равнобедренный с основанием FC, а его биссектриса AG является медианой и высотой. Следовательно, треугольники CEF и CDF также равнобедренные с основанием FC, поскольку соответствующая высота каждого из них является и медианой (EG и DG соответственно). Поэтому ECF=EFC, DCF= =DFC.
Углы BAE=BCE как вписанные, опирающиеся на хорду BE. Углы CAE=CBE как вписанные, опирающиеся на хорду CE. При этом BAE=CAE, так как AE – биссектриса CAB. Итак, 	       Рис. 1.			 EBC=EAC=BAE=BCE=FCE-FCD=CFE-
 					 -CFD=DFE. 
Следовательно, точки B, E, D, F лежат на одной окружности.
Заметим, что один из рациональных способов решения данной задачи основан на использовании свойств секущих.

9.5. Ответ: а) Даша; б) Маша.
а) Даше для того, чтобы получить шоколадку, достаточно каждый раз брать  конфет, где  – количество конфет, которое в этот день взяла Маша (это количество, соответственно, может быть равно 1, 2, 3, 4 конфет). После каждого раза, когда Даша взяла конфеты, в этом случае, количество оставшихся конфет будет кратно пяти, а значит, если Маша сможет взять конфеты (от 1 до 4), то и Даше конфеты останутся.
б) Маше достаточно для получения шоколадки в первый день после покупки конфет взять 1 конфету, а дальше действовать согласно стратегии Даши из пункта а), т.е. во второй день взять  конфет, где  – количество конфет, которое в первый день взяла Даша и т.д.